Question

17．設函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{\frac{-2ax+a+1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$（其中-2≤a＜-1），若存在區(qū)間[m，n]，使函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[m，n]，則|m-n|的最大值是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． 12
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 問題轉化為方程f（x）=x有兩個相異的正實數(shù)根m，n，再由一元二次方程根與系數(shù)關系和配方法求n-m的最大值．

解答 解：∵當x≤0時，f（x）=2^x＞0，
∴不存在區(qū)間[m，n]⊆（-∞，0]使得函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[m，n]．
當x＞0時，f（x）=-2a+$\frac{a+1}{x}$，
∵-2≤a＜-1，
∴a+1＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
若存在區(qū)間[m，n]，使函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[m，n]，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即方程f（x）=x有兩個相異的正實數(shù)根m，n，
∴-2a+$\frac{a+1}{x}$=x有兩個正根．即x²+2ax-（a+1）=0有兩個互已的正根m，n．
∴m+n=-2a，mn=-a-1．
∴|m-n|=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=2$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$=2$\sqrt{（a+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$．
∵-2≤a＜-1，
∴當a=-2時，|m-n|取得最大值2$\sqrt{（-2+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$=2$\sqrt{3}$．
故選D．

點評 本題主要考查了函數(shù)的單調性，一元二次方程根與系數(shù)關系，二次函數(shù)最值，屬于中檔題．