Question

7．非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow$|=2，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=30°，且對?λ＞0，且|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|恒成立，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積的運算以不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為2λ²-$\sqrt{3}$mλ-2+$\sqrt{3}$m≥0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到△=3m²-4×2（$\sqrt{3}$m-2）≤0，求出m的值，再根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出答案．

解答 解：對?λ＞0，且|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|恒成立，
∴|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$|²≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²，
∴|$\overrightarrow{a}$|²+λ²|$\overrightarrow$|²-2λ|$\overrightarrow{a}$||•$\overrightarrow$|cos30°≥|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²-2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos30°，
設|$\overrightarrow{a}$|=m，
∴4λ²-2$\sqrt{3}$mλ≥4-2$\sqrt{3}$m，
即2λ²-$\sqrt{3}$mλ-2+$\sqrt{3}$m≥0，
∴△=3m²-4×2（$\sqrt{3}$m-2）≤0，
即（$\sqrt{3}$m-4）²≤0，
∴$\sqrt{3}$m-4=0，
即m=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos30°=$\frac{4}{\sqrt{3}}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4
故選：A．

點評 本題考查了不等式恒成立的問題，向量的數(shù)量積的運算，以及二次函數(shù)的取值情況和判別式△的關系，完全平方式的運用，屬于中檔題．