Question

（1）已知f（x）=

2x-1

+

1

1-x

+（x-2）⁰，求f（x）的定義域．
（2）已知f（3x-1）的定義域?yàn)椋?，2]，求f（x-1）的定義域．
（3）已知f（x）=

3x-1

2x+1

，求f（x）的值域．
（4）已知f（x）=2x-

1-x

，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不等于0，0指數(shù)冪的底數(shù)不等于0聯(lián)立不等式組得答案；
（2）由f（3x-1）的定義域求得f（x）的定義域，進(jìn)一步求f（x-1）的定義域；
（3）把已知的函數(shù)變形為f（x）=

3x-1

2x+1

=

3 2 (2x+1)- 5 2

2x+1

=

3

2

-

5

2(2x+1)

，則函數(shù)的值域可求；
（4）利用換元法化為二次函數(shù)后求解函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）由

2x-1≥0 1-x≠0 x-2≠0

，解得x＞

1

2

且x≠1，x≠2．
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞

1

2

且x≠1，x≠2}；
（2）∵f（3x-1）的定義域?yàn)椋?，2]，即1＜x≤2，
∴2＜3x-1≤5，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，5]，
再由2＜x-1≤5，得3＜x≤6．
∴f（x-1）的定義域?yàn)椋?，6]；
（3）f（x）=

3x-1

2x+1

=

3 2 (2x+1)- 5 2

2x+1

=

3

2

-

5

2(2x+1)

，
∴f（x）的值域?yàn)?span id="g591gwg" class="MathJye">{y|y≠

3

2

}；
（4）令

1-x

=t（t≥0），
∴x=1-t²，
則y=f（x）=2x-

1-x

=-2t²-t+2，
函數(shù)y=-2t²-t+2的對(duì)稱軸方程為t=-

1

4

．
函數(shù)在[0，+∞）上為減函數(shù)，當(dāng)t=0時(shí)函數(shù)由最大值2．
∴f（x）的值域?yàn)椋?∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其值域的求法，考查了換元法求函數(shù)的值域，是中檔題．