Question

已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集為{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；  
（Ⅱ）若|f（x）-2f（

x

2

）|≤k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式的解集，討論絕對(duì)值不等式中變量a，即可求a的值；  
（Ⅱ）推出f（x）-2f（

x

2

）的表達(dá)式，利用函數(shù)恒成立，直接求k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3，得-4≤ax≤2，
又f（x）≤3的解集為{x|-2≤x≤1}．
∴當(dāng)a≤0時(shí)，不合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，-

4

a

≤x≤

2

a

，
得a=2．
（Ⅱ）記h（x）=f（x）-2f（

x

2

），
則h（x）=

1，x≤-1 -4x-3，-1＜x＜- 1 2 -1，x≥- 1 2

，
∴|h（x）|≤1
因此k≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．