如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=
2
，M，N分別為PD，PB的中點，平面MCN與PA交點為Q．
（Ⅰ）求PQ的長度；
（Ⅱ）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的正弦值；
（Ⅲ）求點A到平面MCN的距離．
考點：點、線、面間的距離計算,與二面角有關的立體幾何綜合題
專題：空間角
分析：（Ⅰ）以A為坐標原點，AD，AB，AP為x，y，z正半軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PQ的長度．（Ⅱ）分別求出平面MCN的法向量和平面ABCD的法向量．由此利用向量法能求出截面MCN與底面ABCD所成二面角的正弦值．
（Ⅲ）由
AN
=(0，1，2)，平面MCN的法向量
n1
=（
2
，1，1），利用向量法能求出點A到平面MCN的距離．
解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由題意以A為坐標原點，AD，AB，AP為x，y，z正半軸，
建立空間直角坐標系，
則有：A（0，0，0）、D(
2
，0，0)、B（0，2，0）、
C(
2
，1，0)、P（0，0，4）、M(
2
2
，0，2)、N（0，1，2）．
設Q（0，0，a），由于Q∈平面MCN，
∴存在實數(shù)λ，μ，使得
CQ
=λ
CM
+μ
CN
，
即(-
2
，-1，a)=λ(-
2
2
，-1，2)+μ(-
2
，0，2)．
由
-
2
=-
2
2
λ-
2
μ
-1=-λ
，得：
λ=1
μ=
1
2
．
于是a=2λ+2μ=3，|
PQ
|=1．
∴PQ的長度是1．…（5分）
（Ⅱ）設平面MCN的法向量
n1
=(x，y，1)，
由
n1
•
CM
=(x，y，1)•(-
2
2
，-1，2)=-
2
2
x-y+2=0
n1
•
CN
=(x，y，1)•(-
2
，0，2)=-
2
x+2=0
，
取x=
2
，得
n1
=(
2
，1，1)．
由題意
n2
=(0，0，1)為平面ABCD的法向量．
于是，cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
|•|
n2
|
=
1
2
．
∴截面MCN與底面ABCD所成二面角的正弦值為
3
2
．…（10分）
（Ⅲ）設點A到平面MCN的距離為d，
∵
AN
=(0，1，2)，平面MCN的法向量
n1
=（
2
，1，1），
∴d=
|
AN
•
n1
|
|
n1
|
=
3
2
．
∴點A到平面MCN的距離為
3
2
．…（14分）
點評：本題考查線段長的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖程序框圖中，輸入n=5，按程序運行后輸出的結果是（　　）
A、3B、4C、5D、6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合A=|f（x）|存在互不相等的正整數(shù)m，n，k，使得[f（n）]2=f（m）f（k），則不屬于集合A的函數(shù)是（　�。�
A、f（x）=2x-1
B、f（x）=x2
C、f（x）=2x+1
D、f（x）=log2x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某公司銷售A、B、C三款手機，每款手機都有經濟型和豪華型兩種型號，據(jù)統(tǒng)計12月份共銷售1000部手機（具體銷售情況見下表）
A款手機 B款手機 C款手機
經濟型 200 x y
豪華型 150 160 z
已知在銷售1000部手機中，經濟型B款手機銷售的頻率是0.21．
（Ⅰ）現(xiàn)用分層抽樣的方法在A、B、C三款手機中抽取50部，求在C款手機中抽取多少部？
（Ⅱ）若y≥136，z≥133，求C款手機中經濟型比豪華型多的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
ex
(x∈R)，g(x)=
(2-x)ex
e2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：當x＞1時，函數(shù)y=g（x）的圖象恒在函數(shù)y=f（x）的圖象下方；
（Ⅲ）若k＞0，求不等式f′（x）-k（1-x）f（x）＜0的解集．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=sin（ωx-
π
6
）-2cos2
ω
2
x+1（ω＞0）．直線y=
3
與函數(shù)y=f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若點（
B
2
，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，且b=3，求△ABC周長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
ax2-（a+1）x+lnx，g（x）=x2-2bx-
5
4
．
（Ⅰ）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＜0時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）當a=
1
2
時，對任意x1∈（0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知某種同型號的6瓶飲料中有2瓶已過了保質期．
（1）從6瓶飲料中任意抽取1瓶，求抽到沒過保質期的飲料的概率；
（2）從6瓶飲料中隨機抽取2瓶，求抽到已過保質期的飲料的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集為{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；  
（Ⅱ）若|f（x）-2f（
x
2
）|≤k恒成立，求k的取值范圍．

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