【題目】某學校高三年級有學生500人,其中男生300人,女生200人,為了研究學生的數(shù)學成績是否與性別有關,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學生,先統(tǒng)計了他們期中考試的數(shù)學分數(shù),然后按性別分為男、女兩組,再將兩組學生的分數(shù)分成5組:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從樣本中分數(shù)小于110分的學生中隨機抽取2人,求兩人恰好為一男一女的概率;
(2)若規(guī)定分數(shù)不小于130分的學生為“數(shù)學尖子生”,請你根據已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”?
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附:K2= .
【答案】
(1)解:由已知得,抽取的100名學生中,男生60名,女生40名,
分數(shù)小于等于110分的學生中,
男生人有60×0.05=3(人),記為A1,A2,A3;
女生有40×0.05=2(人),記為B1,B2
從中隨機抽取2名學生,所有的可能結果共有10種,它們是:
(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),
(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2);
其中,兩名學生恰好為一男一女的可能結果共有6種,它們是:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),
(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2)
故所求的概率為P= =
(2)解:由頻率分布直方圖可知,
在抽取的100名學生中,男生 60×0.25=15(人),女生40×0.375=15(人);…
據此可得2×2列聯(lián)表如下:
數(shù)學尖子生 | 非數(shù)學尖子生 | 合計 | |
男生 | 15 | 45 | 60 |
女生 | 15 | 25 | 40 |
合計 | 30 | 70 | 100 |
所以得K2= = ≈1.79;…
因為1.79<2.706,
所以沒有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”
【解析】(1)根據分層抽樣原理計算抽取的男、女生人數(shù),利用列舉法計算基本事件數(shù),求出對應的概率值;(2)由頻率分布直方圖計算對應的數(shù)據,填寫列聯(lián)表,計算K2值,對照數(shù)表即可得出概率結論.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為普及高中生安全逃生知識與安全防護能力,某學校高一年級舉辦了高中生安全知識與安全逃生能力競賽.該競賽分為預賽和決賽兩個階段,預賽為筆試,決賽為技能比賽.先將所有參賽選手參加筆試的成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進行統(tǒng)計,制成如下頻率分布表.
分數(shù)(分數(shù)段) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
[60,70) | 9 | x |
[70,80) | y | 0.38 |
[80,90) | 16 | 0.32 |
[90,100) | z | s |
合計 | p | 1 |
(Ⅰ)求出上表中的x,y,z,s,p的值;
(Ⅱ)按規(guī)定,預賽成績不低于90分的選手參加決賽,參加決賽的選手按照抽簽方式決定出場順序.已知高一二班有甲、乙兩名同學取得決賽資格.
①求決賽出場的順序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率;
②記高一二班在決賽中進入前三名的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且2cosAcosC(tanAtanC﹣1)=1.
(Ⅰ)求B的大。
(Ⅱ)若 , ,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知A(﹣1,0),B(1,0), = + ,| |+| |=4
(1)求P的軌跡E
(2)過軌跡E上任意一點P作圓O:x2+y2=3的切線l1 , l2 , 設直線OP,l1 , l2的斜率分別是k0 , k1 , k2 , 試問在三個斜率都存在且不為0的條件下, ( + )是否是定值,請說明理由,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知圓,圓.
(1)若過點的直線被圓截得的弦長為,求直線的方程;
(2)設動圓同時平分圓的周長、圓的周長.
①證明:動圓圓心在一條定直線上運動;
②動圓是否經過定點?若經過,求出定點的坐標;若不經過,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某同學參加了今年重慶市舉辦的數(shù)學、物理、化學三門學科競賽的初賽,在成績公布之前,老師估計他能進復賽的概率分別為、、,且這名同學各門學科能否進復賽相互獨立.
(1)求這名同學三門學科都能進復賽的概率;
(2)設這名同學能進復賽的學科數(shù)為隨機變量X,求X的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)滿足.
(Ⅰ)當時,解不等式;
(Ⅱ)若關于x的方程的解集中有且只有一個元素,求a的值;
(Ⅲ)設,若對,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面幾何中,通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓,稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓滿足以下性質:①線段的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓;②銳角的最小覆蓋圓就是其外接圓.已知曲線:,,,,為曲線上不同的四點.
(Ⅰ)求實數(shù)的值及的最小覆蓋圓的方程;
(Ⅱ)求四邊形的最小覆蓋圓的方程;
(Ⅲ)求曲線的最小覆蓋圓的方程.
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