Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=qa_n（q為實(shí)數(shù)，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，且a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差數(shù)列．
（1）求q的值和{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){b_n}滿足b_n+1=b_n+a_2n-1（n∈N^*），b₁=2，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差數(shù)列，可得2（a₃+a₄）=a₄+a₅+a₂+a₃．化為a₂-a₃-a₄+a₅=0，由于a_n+2=qa_n（q為實(shí)數(shù)，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，
可得a₃=q，a₄=2q，a₅=q²，代入解出q．對(duì)n分類討論即可得出．
（2）{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_2n-1（n∈N^*），b₁=2，利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=a_2n-3+a_2n-5+…+a₁+2，及其等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差數(shù)列，
∴2（a₃+a₄）=a₄+a₅+a₂+a₃．
化為a₂-a₃-a₄+a₅=0，
∵a_n+2=qa_n（q為實(shí)數(shù)，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，
∴a₃=q，a₄=2q，a₅=q²，
∴2-q-2q+q²=0，q≠1，
解得q=2．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1=2a_2k-1，又a₁=1，∴a_2k-1=2^k-1；
當(dāng)n=2k時(shí)，a_2k+2=2a_2k，又a₂=2，a_2k=2×2^k-1=2^k．
綜上可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（2）{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_2n-1（n∈N^*），b₁=2，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_2n-3+a_2n-5+…+a₁+2
=2^n-2+2^n-3+…+1+2
=$\frac{{2}^{n-1}-1}{2-1}$+2
=2^n-1+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．