Question

11．如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B（在A的上方），且|AB|=2．過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x²+y²=1相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：
①$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$；  ②$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=3；  ③$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=2$\sqrt{2}$
其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 取AB的中點(diǎn)E，通過(guò)圓C與x軸相切于點(diǎn)T，利用弦心距、半徑與半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系，計(jì)算即可；設(shè)M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），計(jì)算出相應(yīng)值即可．

解答 解：∵圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），
∴圓心的橫坐標(biāo)x=1，取AB的中點(diǎn)E，
∵|AB|=2，∴|BE|=1，
則|BC|=$\sqrt{2}$，即圓的半徑r=|BC|=$\sqrt{2}$，
∴圓心C（1，$\sqrt{2}$），
∴E（0，），
又∵|AB|=2，且E為AB中點(diǎn)，
∴A（0，$\sqrt{2}$-1），B（0，$\sqrt{2}$+1），
∵M(jìn)、N在圓O：x²+y²=1上，
∴可設(shè)M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴|NA|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}-1）]^{2}}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
|NB|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2+}[sinβ-（\sqrt{2}+1）^{2}}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\sqrt{2}$-1，
同理可得$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\sqrt{2}$-1，
∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$，①成立，
$\frac{|NA|}{|NB|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=2，②不正確．
$\frac{|NA|}{|NB|}$+$\frac{|MA|}{|MB|}$=2$\sqrt{2}$，③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用三角函數(shù)值表示單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．