Question

2．如圖所示，點E、F分別為棱長為2$\sqrt{2}$的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，C₁D₁的中點，點P在EF上，過點P作直線l，使得l⊥EF，且l∥平面ACD₁，直線l與正方體的表面相交于M、N兩點，當點P由E運動到點F時，記EP=x，△EMN的面積為f（x），則y=f（x）的圖象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 通過EF∥AD₁轉(zhuǎn)化成為EF∥平面D₁AC，再轉(zhuǎn)化成EMFN∥平面D₁AC，找到M，N的軌跡為過E，F(xiàn)且于平面
D₁AC平行的平面α與正方體表面的交線．設(shè)平面α與ABCD交線為EE₁，那么EE₁∥AC，所以E₁為棱BC的中點．同理可得E₂，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是CC₁，D₁A₁，A₁A的中點，尋找到M，N的軌跡為正六邊形，根據(jù)邊長的關(guān)系，分段討論解析式的變化，即線段的長度．從而觀看圖象變化尋找答案．

解答 解：∵EF∥AD₁，∴EF∥平面D₁AC，
又∵MN∥平面D₁AC，EF∩MN=P，∴EMFN∥平面D₁AC，∴M，N的軌跡為過E，F(xiàn)且于平面D₁AC平行的平面α與正方體表面的交線．設(shè)平面α與ABCD交線為EE₁，那么EE₁∥AC，所以E₁為棱BC的中點．同理可得E₂，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是CC₁，D₁A₁，A₁A的中點，所以M，N的軌跡為正六邊形，且邊長為2，當0≤x＜1時，MP=$\sqrt{3}x$，f（x）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}x•x=\sqrt{3}{x}^{2}$．當1＜x≤3時，MN=$2\sqrt{3}$，f（x）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}x=\sqrt{3}x$，當3＜x≤4時，$MP=\sqrt{3}（4-x）$，f（x）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}（4-x）•x=\sqrt{3}（-{x}^{2}-4x）$．觀看圖象，A的變化符合題意．
故選：A．

點評 本題考查了線面，面面的關(guān)系的動點問題，需要找到動點之間的變化軌跡圖形，分段考察變化規(guī)律，可以參看圖形，找到折點，從而選出答案．綜合性強，雙動點的問題，變化復雜．屬于難題．