Question

已知函數f（x）=

1

2

x²+

1

2

x，數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若函數g（x）=

4x

4x+2

，令b_n=g（

an

2015

）（n∈N^*）求數列{b_n}的前2014項的和T₂₀₁₄．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于點（n，S_n）在f（x）的圖象上，可得Sn=

1

2

n2+

1

2

n，利用“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1；當n=1時，a₁=S₁，”即可得出；
（2）由于g(x)=

4x

4x+2

，且g（x）+g（1-x）=1，由（1）知a_n=n，可得bn=g(

n

2015

)，即可得出．

解答： 解：（1）∵點（n，S_n）在f（x）的圖象上，
∴Sn=

1

2

n2+

1

2

n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n；
當n=1時，a₁=S₁=1，適合上式，
∴a_n=n（n∈N*）．
（2）∵g(x)=

4x

4x+2

，且g（x）+g（1-x）=1，
由（1）知a_n=n，
∴bn=g(

n

2015

)，
∴T2014=b1+b2+…+b2014=g(

1

2015

)+g(

2

2015

)+…+g(

2014

2015

)…①
T2014=b2014+b2013+…+b1=g(

2014

2015

)+g(

2013

2015

)+…+g(

1

2015

)…②
①+②得2T2014=2014(g(

1

2015

)+g(

2014

2015

))=2014，
∴T₂₀₁₄=1007．

點評：本題考查了遞推式的應用、函數的性質、“倒序相加法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．