Question

等差數列{a_n}中，2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，其前n項和為S_n
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=a_n•2^n-1，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得

2a1+3a1+3d=11 2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4

，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由b_n=a_n•2^n-1=（2n-1）•2^n-1，利用錯位相減法能求出{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由已知得

2a1+3a1+3d=11 2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4

，
解得a₁=1．d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵b_n=a_n•2^n-1=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
2T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=1+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ
=1+

4(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ
=-3+2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ-2^n-1+3．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意錯位相減法的合理運用．