Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-a{x}^{2}-4，x＜0}\\{|x-2|+a，x≥0}\end{array}\right.$恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，0）∪{-3}．

Answer 1

分析 先判斷a＜0，再分析x＜0，函數(shù)在x=$\frac{2a}{3}$時(shí)取得極大值$\frac{4}{9}{a}^{3}$-4，x=0時(shí)取得極小值-4，利用f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-a{x}^{2}-4，x＜0}\\{|x-2|+a，x≥0}\end{array}\right.$恰有2個(gè)零點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 解：記g（x）=x³-ax²-4，h（x）=|x-2|+a
①當(dāng)a＜0，在（-∞，0]上，g′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），
當(dāng)x＜$\frac{2a}{3}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)$\frac{2a}{3}$＜x＜0，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以g（x）_max=g（$\frac{2a}{3}$）=-$\frac{4}{27}$a³-4．
g（0）=-4，且當(dāng)x＞-∞時(shí)，g（x）→-∞，
所以（i）若-$\frac{4}{27}$a³-4＞0，即a＜-3，
則g（x）=0在（-∞，0）上有兩個(gè)角，
而此時(shí)，由h（x）=|x-2|+a=0解得x=2±a，而2-a∈[0，+∞），
所以f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
（ii）若-$\frac{4}{27}$a³-4=0，即a=-3，則g（x）=0在（-∞，0）上有一個(gè)解，
此時(shí)，由h（x）=|x-2|+a=0解得x=5或x=-1，
所以h（x）=0在[0，+∞）上有一個(gè)解x=5，所以f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)．
（iii）若-$\frac{4}{27}$a³-4＜0，則g（x）=0在（-∞，0）上無解，
所以要滿足題意，則h（x）=0在[0，+∞）上有兩個(gè)解，
即$\left\{\begin{array}{l}{2+a≥0}\\{2-a≥0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得-2≤a＜0．
②若a≥0，則在（-∞，0）上，g′（x）=x（3x-2a）≥0，g（x）單調(diào)遞增，
所以g（x）＜g（0）=-4，所以g（x）=0無解．
而h（x）=|x-2|+a=0在a＞0無解，在a=0時(shí)只有一個(gè)解x=2，
所以f（x）最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
綜上所述，a的取值范圍是[-2，0）∪{-3}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．