Question

12．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左頂點到上頂點的距離為$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l是過橢圓右焦點F且斜率為k的直線，已知直線l交橢圓于M，N兩點，若橢圓上存在一點P，滿足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OP}$，求當$|{\overrightarrow{OP}}|=2|k|$時，k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件通過橢圓的幾何量的關(guān)系求出a、b，即可求解橢圓方程．
（Ⅱ）直線l的方程為y=k（x-1），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組，通過韋達定理，以及向量關(guān)系，即可求解k的值．

解答 解：（Ⅰ）依題意$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ \sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{3}\end{array}\right.$-------------------（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2\\{b^2}=1\end{array}\right.$----------------------------（3分）
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$----------------------------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（1，0），所以直線l的方程為y=k（x-1）-----------------（5分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.⇒$（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0-------（7分）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{-2k}{{1+2{k^2}}}$--------（8分）

所以$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{λ}（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}）$=$\frac{1}{λ}（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$=$（\frac{1}{λ}•\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，\frac{1}{λ}•\frac{-2k}{{1+2{k^2}}}）$-------（9分）
由點P在橢圓上得$\frac{1}{2}•\frac{1}{λ^2}•\frac{{16{k^4}}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}+\frac{1}{λ^2}•\frac{{4{k^2}}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}=1$，
即$\frac{1}{2}•\frac{16{k}^{4}}{{（1+2{k}^{2}）}^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{{（1+2{k}^{2}）}^{2}}={λ}^{2}$…（1）-----------（10分）
由$|{\overrightarrow{OP}}|=2|k|$得$\frac{1}{λ^2}•\frac{{16{k^4}}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}+\frac{1}{λ^2}•\frac{{4{k^2}}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}=4{k^2}$，
即$\frac{16{k}^{4}}{{（1+2{k}^{2}）}^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{{（1+2{k}^{2}）}^{2}}=4{k}^{2}{λ}^{2}$…（2）---------------（11分）
由（1）（2）消去λ²得：$4{k}^{2}•（\frac{8{k}^{4}}{{（1+2{k}^{2}）}^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{{（1+2{k}^{2}）}^{2}}）=\frac{16{k}^{4}}{{（1+2{k}^{2}）}^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{{（1+2{k}^{2}）}^{2}}$，
∴8k⁴+4k²=4k²+1，--------（13分）
∴${k^4}=\frac{1}{8}$，∴$k=±\frac{{\root{4}{2}}}{2}$----------------（14分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．