Question

2．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為3，M，N分別是棱AA₁，AB上的點，且AM=AN=1．
（1）證明：M，N，C，D₁四點共面；
（2）平面MNCD₁將此正方體分為兩部分，求這兩部分的體積
之比．

Answer 1

分析 （1）連接A₁B，由正方體可得四邊形A₁BCD₁是平行四邊形．得到A₁B∥D₁C．在△ABA₁中，AM=AN=1，AA₁=AB=3，可得MN∥A₁B．MN∥D₁C．即可證明．
（2）由平面MNCD₁四點共面；將正方體分成兩部分的下部分體積為V₁，上部分體積為V₂，AMN-DCD₁為三棱臺．利用體積計算公式即可得出．

解答 （1）證明：連接A₁B，
在四邊形A₁BCD₁中，${A}_{1}{D}_{1}\underset{∥}{=}BC$，
∴四邊形A₁BCD₁是平行四邊形．
∴A₁B∥D₁C．
在△ABA₁中，AM=AN=1，AA₁=AB=3，
∴$\frac{AM}{A{A}_{1}}=\frac{AN}{AB}$，
∴MN∥A₁B．
∴MN∥D₁C．
∴M，N，C，D₁四點共面；
（2）由平面MNCD₁四點共面；將正方體分成兩部分的下部分體積為V₁，上部分體積為V₂，
AMN-DCD₁為三棱臺．
∵S_△AMN=$\frac{1}{2}AM•AN$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$=S₁，
${S}_{△DC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}D{C}^{2}$=$\frac{1}{2}×{3}^{2}=\frac{9}{2}$=S₂．
∴V₁=$\frac{1}{3}AD•（{S}_{1}+\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}+{S}_{2}）$=$\frac{1}{3}×3×（\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{9}{2}}+\frac{9}{2}）$=$\frac{13}{2}$，
${V}_{2}={V}_{正方體A{C}_{1}}$-V₁=${3}^{3}-\frac{13}{2}$=$\frac{41}{2}$．
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{13}{41}$．

點評 本題考查了線面平行的判定定理、正方體的性質、三棱臺的體積計算公式，考查了推理能力與體積計算公式，屬于中檔題．