Question

5．已知，a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下列四個(gè)命題：
①若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC是銳角三角形
②若acoA=bcosB，則△ABC是等腰三角形
③若bcosC+ccosB=b，則△ABC是等腰三角形
④若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$，則△ABC是等邊三角形
其中正確命題的序號(hào)是①③④．

Answer 1

分析 利用兩角和的正切函數(shù)判斷①的正誤；根據(jù)正弦定理及二倍角公式，判斷三角形形狀，可判斷②③④的正誤；

解答 解：對(duì)于①，∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的內(nèi)角，故內(nèi)角都是銳角，故①正確；
對(duì)于②，若acoA=bcosB，則sinAcosA=sinBcosB，
則2sinAcosA=2sinBcosB，則sin2A=sin2B，
則A=B，或A+B=90°，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故②錯(cuò)誤
對(duì)于③，若bcosC+ccosB=b，sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sinB，
即A=B，則△ABC是等腰三角形，故③正確；
④對(duì)于④，若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$，則$\frac{SinA}{cosA}=\frac{sinB}{cosB}=\frac{sinC}{cosC}$，即tanA=tanB=tanC，即A=B=C，即△ABC是等邊三角形，故④正確；
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和的正切公式以及三角函數(shù)的符號(hào)，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，正弦定理等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生訓(xùn)練運(yùn)用公式熟練變形的能力．