Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC不是直角三角形，則下列命題正確的是①④⑤（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）
①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC的最小值為3$\sqrt{3}$
③tanA，tanB，tanC中存在兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)
④若tanA：tanB：tanC=1：2：3，則A=45°
⑤當(dāng)$\sqrt{3}$tanB-1=$\frac{tanB+tanC}{tanA}$時(shí)，則sin²C≥sinA•sinB．

Answer 1

分析 利用和角的正切公式，結(jié)合三角形的內(nèi)角和，可判斷①；舉出反例：A=$\frac{2π}{3}$，B=C=$\frac{π}{6}$，可判斷②；根據(jù)正切互為倒數(shù)的兩個(gè)三角形內(nèi)角互余，可判斷③；由①中結(jié)論，可得tanA=1，進(jìn)而判斷④；由①中結(jié)論，可得C=60°，進(jìn)而利用和差角公式及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可判斷⑤．

解答 解：由題意知：A≠$\frac{π}{2}$，B≠$\frac{π}{2}$，C≠$\frac{π}{2}$，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，
又∵tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=-tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正確；
當(dāng)A=$\frac{2π}{3}$，B=C=$\frac{π}{6}$時(shí)，tanA+tanB+tanC=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$＜3$\sqrt{3}$，故②錯(cuò)誤；
若tanA，tanB，tanC中存在兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，則對(duì)應(yīng)的兩個(gè)內(nèi)角互余，則第三個(gè)內(nèi)角為直角，這與已知矛盾，故③錯(cuò)誤；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，則6tan³A=6tanA，則tanA=1，故A=45°，故④正確；
當(dāng)$\sqrt{3}$tanB-1=$\frac{tanB+tanC}{tanA}$時(shí)，$\sqrt{3}$tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=$\sqrt{3}$，C=60°，
此時(shí)sin²C=$\frac{3}{4}$，
sinA•sinB=sinA•sin（120°-A）=sinA•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA+$\frac{1}{2}$sin²A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$cos2A=$\frac{1}{2}$sin（2A-30°）$+\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
則sin²C≥sinA•sinB．故⑤正確；
故答案為：①④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了和角的正切公式，反證法，誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．