Question

20．已知點（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}$）是等軸雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1上一點，拋物線x²=2py（p＞0）的焦點與雙曲線C的一個焦點重合．
（1）求拋物線的方程；
（2）若點P是拋物線上的動點，點A，B在x軸上，圓x²+（y-1）²=1內(nèi)切于△PAB，求△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線方程，可得焦點坐標(biāo)，利用拋物線x²=2py（p＞0）的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，求出求拋物線的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），A（m，0），B（n，0），n＞m．由圓心（1，0）到直線PB的距離是1，知（y₀-2）n²+2nx₀-y₀=0，同理，（y₀-2）m²+2mx₀-y₀=0，所以（m-n）²=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-8{y}_{0}}{（{y}_{0}-2）^{2}}$，從而得到S_△PBC=$\frac{1}{2}$（n-m）y₀，由此能求出△PBC面積的最小值．

解答 解：（1）∵點（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}$）是等軸雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1上一點，
∴$\frac{\frac{6}{16}}{{a}^{2}}$-$\frac{\frac{1}{4}}{{a}^{2}}$=1，∴a²=$\frac{1}{8}$，
∴c²=2a²=$\frac{1}{4}$，∴c=$\frac{1}{2}$，
∵拋物線x²=2py（p＞0）的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴p=1，
∴拋物線的方程為x²=2y；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），A（m，0），B（n，0），n＞m．
直線PB的方程：y-0=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-n}$（x-n），
化簡，得y₀x+（n-x₀）y-y₀n=0，
∵圓心（0，1）到直線PB的距離是1，
∴$\frac{|n-{x}_{0}-{y}_{0}n|}{\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+（n-{x}_{0}）^{2}}}$=1，
∴y₀²+（n-x₀）²=（n-x₀））²-2y₀n（n-x₀））+y₀²n²，
∵y₀＞2，上式化簡后，得（y₀-2）n²+2nx₀-y₀=0，
同理，（y₀-2）m²+2mx₀-y₀=0，
∴m+n=$\frac{-2{x}_{0}}{{y}_{0}-2}$，mn=$\frac{-{y}_{0}}{{y}_{0}-2}$，
∴（m-n）²=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-8{y}_{0}}{（{y}_{0}-2）^{2}}$，
∵P（x₀，y₀）是拋物線上的一點，
∴x₀²=2y₀，
∴（m-n）²=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{（{y}_{0}-2）^{2}}$，n-m=$\frac{2{y}_{0}}{{y}_{0}-2}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$（n-m）y₀=（y₀-2）+$\frac{4}{{y}_{0}-2}$+4≥2$\sqrt{4}$+4=8．
當(dāng)且僅當(dāng)y₀-2=$\frac{4}{{y}_{0}-2}$時，取等號．
此時y₀=4，x₀=±2$\sqrt{2}$．
∴△PBC面積的最小值為8．

點評 本題考查三角形面積的最小值的求法，具體涉及到拋物線的性質(zhì)、拋物線和直線的位置關(guān)系、圓的簡單性質(zhì)、均值定理等基本知識，綜合性強(qiáng)，難度大，對數(shù)學(xué)思想的要求較高，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．