Question

19．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[n，m]上恒有f（x）∈[$\frac{n}{k}$，km]成立，則稱(chēng)區(qū)間[n，m]為函數(shù)f（x）的“k度約束區(qū)間”，若區(qū)間[$\frac{1}{t}$，t]（t＞0）為函數(shù)f（x）=x²-tx+t²的“2度約束區(qū)間”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A． （1，2]
• B． $（1，\root{3}{{\frac{3}{2}}}]$
• C． $（{1，\sqrt{2}}]$
• D． $（\sqrt{2}，2]$

Answer 1

分析 由x∈[$\frac{1}{t}$，t]，（t＞0），得：t＞$\frac{1}{t}$，由f（t）=t²-t•t+t²=t²≤2t得：t≤2，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出t的范圍即可．

解答 解：由題意得：$\frac{1}{2t}$≤x²-tx+t²≤2t對(duì)任意的x∈[$\frac{1}{t}$，t]，（t＞0）都成立，
由t＞$\frac{1}{t}$得：t＞1，
f（$\frac{1}{t}$）=$\frac{1}{{t}^{2}}$-1+t²＞2-1=1＞$\frac{1}{2t}$，
由f（t）=t²-t•t+t²=t²≤2t得：t≤2，
∵t＞1，
∴f（$\frac{1}{t}$）=$\frac{1}{{t}^{2}}$-1+t²＜1-1+t²=t²，
又f（x）=x²-tx+t²的對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{t}{2}$，
由f（$\frac{t}{2}$）=$\frac{{3t}^{2}}{4}$≥$\frac{1}{2t}$，得：t≥$\root{3}{\frac{2}{3}}$，
由于$\root{3}{\frac{2}{3}}$＜1，
∴t的范圍是（1，2]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義問(wèn)題，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，解決問(wèn)題的能力，是一道中檔題．