Question

（Ⅰ）求函數y=2cos²x+5sinx-4的最大值與最小值；
（Ⅱ）已知函數y=2acos（2x-

π

3

）+b的定義域是[0，

π

2

]，值域是[-5，1]，求a，b的值．

Answer 1

考點：余弦函數的圖象,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）根據函數y=2cos²x+5sinx-4=-2(sinx-

5

4

)2+

9

8

，再根據sinx的范圍、利用二次函數的性質，求得該函數的最值．
（Ⅱ）根據函數的定義域是[0，

π

2

]，利用余弦函數的值域可得函數的值域為[-|a|+b，2|a|+b]．再根據函數的值域是[-5，1]，可得-|a|+b=-5，2|a|+b=1，由此求得a，b的值．

解答： （Ⅰ）解：∵函數y=2cos²x+5sinx-4=-2sin²x+5sinx-2=-2(sinx-

5

4

)2+

9

8

，
故當sinx=1時，函數取得最大值為1，當sinx=-1時，函數取得最小值為-

27

8

．
（Ⅱ）解：已知函數y=2acos（2x-

π

3

）+b的定義域是[0，

π

2

]，可得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1，
故函數的值域為[-|a|+b，2|a|+b]．
再根據函數的值域是[-5，1]，可得-|a|+b=-5，且2|a|+b=1，求得a=±2，b=-3．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系、二次函數的性質、余弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．