Question

函數(shù)f（x）=lnx-2ax²（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a=

1

8

時(shí)，證明：f（x）≤

2

4

x4+1

-

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

1

x

-4x=

1-4x2

x

，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極值．
（Ⅱ）由f′(x)=

1

x

-4ax=

1-4ax2

x

，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）即證lnx-

1

4

x2≤

1

2

x-

3

4

，設(shè)F(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x+

3

4

，x＞0由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明f（x）≤

2

4

x4+1

-

3

4

．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-2x²，
f′（x）=

1

x

-4x=

1-4x2

x

，x＞0，
由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

2

，由f′（x）＜0，得x＞

1

2

，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，

1

2

），減區(qū)間為（

1

2

，+∞），
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）取得極大值，為f（

1

2

）=ln

1

2

-

1

2

，無極小值．
（Ⅱ）解：f′(x)=

1

x

-4ax=

1-4ax2

x

，x＞0，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間．
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，得0＜x＜

a

2a

；由f′（x）＜0，得x＞

a

2a

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

a

2a

），減區(qū)間為（

a

2a

，+∞）．
（Ⅲ）證明：當(dāng)a=

1

8

時(shí)，f（x）=lnx-

1

4

x²，
∵

x4+1

≥

2x

，
∴證明f（x）≤

2

4

x4+1

-

3

4

，即證lnx-

1

4

x2≤

1

2

x-

3

4

，
設(shè)F(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x+

3

4

，x＞0，
則F′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

2-x-x2

2x

，x＞0
由F′（x）＞0，得x＞1；由F′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取得極大值F（1）=0，
∴f（x）≤

2

4

x4+1

-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．