Question

【題目】設(shè)集合、均為實數(shù)集的子集，記：；

（1）已知，，試用列舉法表示；

（2）設(shè)，當(dāng)，且時，曲線的焦距為，如果，，設(shè)中的所有元素之和為，對于滿足，且的任意正整數(shù)、、，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；

（3）若整數(shù)集合，則稱為“自生集”，若任意一個正整數(shù)均為整數(shù)集合的某個非空有限子集中所有元素的和，則稱為“的基底集”，問：是否存在一個整數(shù)集合既是自生集又是的基底集？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)新定義，結(jié)合已知中的集合、，可得答案；

（2）曲線表示雙曲線，進而可得，，則，結(jié)合且及基本不等式，可得進而得到答案；

（3）設(shè)整數(shù)集合，其中為斐波那契數(shù)列，即，，，

①由得：，可得是自生集；

②對于任意，對于任一正整數(shù)，存在集合的一個有限子集，使得，（，），再用數(shù)學(xué)歸納法證明集合又是的基底集．

解：（1）∵；

當(dāng)，時，

；

（2）曲線，即，在時表示雙曲線，

故，

∴，

∵，

∴中的所有元素之和為，

∴，

∵，且，

∴，

∴，

即實數(shù)的最大值為；

（3）存在一個整數(shù)集合既是自生集又是的基底集，理由如下：

設(shè)整數(shù)集合，其中為斐波那契數(shù)列，

即，，，

下證：整數(shù)集合既是自生集又是的基底集，

①由得：，

故是自生集；

②對于任意，對于任一正整數(shù)，存在集合的一個有限子集，

使得，（，），

當(dāng)時，由，，，，知結(jié)論成立；

假設(shè)結(jié)論對時成立，

則時，只須對任何整數(shù)討論，

若，則，，

故，，

由歸納假設(shè)，可以表示為集合中有限個絕對值小于的元素的和．

因為，

所以可以表示為集合中有限個絕對值小于的元素的和．

若，則結(jié)論顯然成立．

若，則，，

由歸納假設(shè)知，可以表示為集合中有限個絕對值小于的元素的和．

所以，當(dāng)時結(jié)論也成立；

由于斐波那契數(shù)列是無界的，

所以，任一個正整數(shù)都可以表示成集合的一個有限子集中所有元素的和．

因此集合又是的基底集．