【題目】斜三棱柱ABC﹣A1B1C1,已知側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直且∠BCA=90°,∠B1BC=60°,BC=BB1=2,若二面角A﹣B1B﹣C為30°
(1)求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值;
(2)在平面AA1B1B內(nèi)找一點(diǎn)P,使三棱錐P﹣BB1C為正三棱錐,并求P到平面BB1C距離.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C,則有∠AB1C為AB1與平面BB1C1C所成的角,連接B1C,則∠AB1C為AB1與平面BB1C1C所成的角,在Rt△ACB1中可求得tan∠AB1C.
(2)在AD上取點(diǎn)P,使AP=2PD,則P點(diǎn)為所求,在CD上取點(diǎn)O,使CO=2OD,連PO,則易知三棱錐P﹣BB1C為正三棱錐,故可求.
(1)由側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C,
取BB1的中點(diǎn)D,AC⊥平面BB1C1C,
∴AC⊥BB1,
∴BB1⊥平面ADC,
∴AD⊥BB1,
∴∠CDA為二面角A﹣BB1﹣C的平面角,∴∠CDA=30°,
∵CD=,∴AC=1,
連接B1C,則∠AB1C為AB1與平面BB1C1C所成的角,
在Rt△ACB1中tan∠AB1C=,
(2)在AD上取點(diǎn)P,使AP=2PD,則P點(diǎn)為所求,
在CD上取點(diǎn)O,使CO=2OD,連PO,
則PO∥AC,且PO=,
∵AO⊥平面BB1C,
∴PO⊥平面BB1C 且 BB1C為等邊三角形,
∴三棱錐P﹣BB1C為正三棱錐,
且P到平面BB1C的距離為PO,PO=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以O為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓C的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線和圓C交于A,B兩點(diǎn),P是圓C上不同于A,B的任意一點(diǎn).
(1)求圓C及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求面積的最大值.
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【題目】設(shè)集合、均為實(shí)數(shù)集的子集,記:;
(1)已知,,試用列舉法表示;
(2)設(shè),當(dāng),且時(shí),曲線的焦距為,如果,,設(shè)中的所有元素之和為,對于滿足,且的任意正整數(shù)、、,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;
(3)若整數(shù)集合,則稱為“自生集”,若任意一個(gè)正整數(shù)均為整數(shù)集合的某個(gè)非空有限子集中所有元素的和,則稱為“的基底集”,問:是否存在一個(gè)整數(shù)集合既是自生集又是的基底集?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在底面為正方形的四棱錐中,平面平面分別為棱和的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若直線與所成角的正切值為,求平面與平面所成銳二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=x2﹣2xsinα+1的頂點(diǎn)在橢圓x2+my2=1上,這樣的拋物線有且只有兩條,則m的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:過點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于,兩點(diǎn).
(1)證明:當(dāng)取得最小值時(shí),橢圓的離心率為.
(2)若橢圓的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:,直線截拋物線所得弦長為.
(1)求的值;
(2)若直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,且直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)、分別作拋物線的切線,兩切線相交于點(diǎn).
①若直線經(jīng)過點(diǎn),求點(diǎn)的縱坐標(biāo);
②求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】黃岡“一票通”景區(qū)旅游年卡,是由黃岡市旅游局策劃,黃岡市大別山旅游公司推出的一項(xiàng)惠民工程.持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市19家簽約景區(qū).為合理配置旅游資源,現(xiàn)對已游覽某簽約景區(qū)的游客進(jìn)行滿意度調(diào)查.隨機(jī)抽取100位游客進(jìn)行調(diào)查評分(滿分100分),評分的頻率分布直方圖如圖.
(1)求a的值并估計(jì)評分的平均數(shù);
(2)為了了解游客心聲,調(diào)研機(jī)構(gòu)用分層抽樣的方法從評分為,的游客中抽取了6名,聽取他們對該景區(qū)建設(shè)的建議.現(xiàn)從這6名游客中選取2人,求這2人中至少有一個(gè)人的評分在內(nèi)的概率;
(3)為更廣泛了解游客想法,調(diào)研機(jī)構(gòu)對所有評分從低到高排序的前86%游客進(jìn)行了網(wǎng)上問卷調(diào)查并隨調(diào)查表贈(zèng)送小禮品,估計(jì)收到問卷調(diào)查表的游客的最高分?jǐn)?shù).
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