Question

3．設(shè)a＞b＞0，點(diǎn)A（a，0），B（-a，0），C（-a，-b），D（a，-b），取線段AB上一點(diǎn)M，找到線段AB上另一點(diǎn)N，使得|AM|，$\frac{1}{2}$|MN|，|NB|成等比數(shù)列，設(shè)直線DM，CN交于點(diǎn)P．求證：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的上半部分．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出P（x₀，y₀）（y₀＞0），由兩點(diǎn)式寫出直線CP、DP所在直線方程，求出兩直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出|AM|，|MN|，|NB|，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列式整理得答案．

解答 證明：如圖，設(shè)P（x₀，y₀）（y₀＞0），
則CP所在直線方程：$\frac{y+b}{{y}_{0}+b}=\frac{x+a}{{x}_{0}+a}$，取y=0，得x=$\frac{b{x}_{0}-a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$，∴N（$\frac{b{x}_{0}-a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$，0）；
DP所在直線方程：$\frac{y+b}{{y}_{0}+b}=\frac{x-a}{{x}_{0}-a}$，取y=0，得x=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$，∴M（$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$，0）．
則|AM|=a-$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$=$\frac{ab-b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}$，|MN|=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$-$\frac{b{x}_{0}-a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$=$\frac{2a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$，|NB|=$\frac{b{x}_{0}-a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$+a=$\frac{b{x}_{0}+ab}{{y}_{0}+b}$，
由|AM|，$\frac{1}{2}$|MN|，|NB|成等比數(shù)列，
得$（\frac{a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}）^{2}$=$\frac{ab-b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}$•$\frac{b{x}_{0}+ab}{{y}_{0}+b}$，
整理得：${a}^{2}{{y}_{0}}^{2}={a}^{2}^{2}-^{2}{{x}_{0}}^{2}$，即$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1（{y}_{0}＞0）$．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的上半部分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬中檔題．