Question

13．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，過點P（x₀，y₀，z₀）且一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）的平面α的方程為a（x-x₀）+b（y-y₀）+c（z-z₀）=0；過點P（x₀，y₀，z₀）且個方向向量為$\overrightarrow3pbxtdz$=（u，v，w）（uvw≠0）的直線l的方程為$\frac{x-{x}_{0}}{u}$=$\frac{y-{y}_{0}}{v}$=$\frac{z-{z}_{0}}{w}$，閱讀上面材料，并解決下面問題：已知平面α的方程為3x-5y+z-7=0，直線l是兩個平面x-3y+7=0與4y+2z+1=0的交線，則直線l與平面α所成角的大小為（　�。�

• A． arcsin$\frac{\sqrt{10}}{35}$
• B． arcsin$\frac{\sqrt{7}}{5}$
• C． arcsin$\frac{\sqrt{7}}{15}$
• D． arcsin$\frac{\sqrt{14}}{55}$

Answer 1

分析 求出直線l的方向向量，平面α的法向量即可．

解答 解：∵平面α的方程為3x-5y+z-7=0，∴平面α的法向量可取$\overrightarrow{m}（3，-5，1）$
平面x-3y+7=0的法向量為$\overrightarrow{a}=（1，-3，0）$，平面4y+2z+1=0的法向量為$\overrightarrow=（0，4，2）$，
設(shè)兩平面的交線的方向向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}=x-3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow=4y+2z=0}\end{array}\right.$取$\overrightarrow{n}=（3，1，-2）$，
則直線l與平面α所成角的大小為θ，sinθ=|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\sqrt{10}}{35}$．
∴$θ=arcsin\frac{\sqrt{10}}{35}$，
故選A．

點評 本題考查了空間平面、線的法向量、方向向量，線面角，屬于基礎(chǔ)題