Question

如圖1，AD是直角△ABC斜邊上的高，沿AD把△ABC的兩部分折成直二面角（如圖2），DF⊥AC于F．
（Ⅰ）證明：BF⊥AC；
（Ⅱ）設(shè)AB=AC，E為AB的中點，在線段DC上是否存在一點P，使得DE∥平面PBF？若存在，求

DP

PC

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由AD⊥DB，AD⊥DC，得∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，從而BD⊥平面ADC，又AC⊥平面BDF，由此能證明BF⊥AC．
（Ⅱ）連結(jié)CE交BF于點M，連結(jié)PM，則PM∥DE，由此推導(dǎo)出在線段DC上存在一點P，使得DE∥平面PBF，此時

DP

PC

=

1

2

．

解答： （Ⅰ）證明：∵AD⊥DB，AD⊥DC，
∴∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，
又∵二面角B-AD-C是直二面角，∴BD⊥DC，
∴BD⊥平面ADC，∴BD⊥AC，
又DF⊥AC，∴AC⊥平面BDF，
∴BF⊥AC．
（Ⅱ）解：連結(jié)CE交BF于點M，連結(jié)PM，則PM∥DE，
∵AB=AC，∴AD=DC，∴F為AC的中點，
∵E為AB的中點，∴M為△ABC的重心，
∴

EM

MC

=

1

2

，∴

DP

PC

=

1

2

，
即在線段DC上存在一點P，使得DE∥平面PBF，
此時

DP

PC

=

1

2

．

點評：本題考查兩條異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的判斷與求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．