【題目】如圖,三棱錐中,平面,,,,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,.
(1)證明:平面平面;
(2)證明:平面;
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)利用余弦定理計(jì)算出,由勾股定理可得出,再由平面,可得出,利用直線與平面垂直的判定定理可證明出平面,然后利用平面與平面垂直的判定定理可證明出平面平面;
(2)證法一:過點(diǎn)作交于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接、,證明四邊形為平行四邊形,可得出,然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面;
證法二:取中點(diǎn),連接、,證明平面平面,即可得出平面;
(3)過點(diǎn)作,垂足為,在直角中過點(diǎn)作,垂足為,證明出平面,可知二面角的平面角為,計(jì)算出中的和,然后利用銳角三角函數(shù)的定義求出即可.
(1)在中,由余弦定理得,
即,解得,,則,.
因?yàn)?/span>平面,平面,所以.
,、平面,平面.
平面,平面平面;
(2)證法一:過點(diǎn)作交于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接、.
點(diǎn)為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),,.
又是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,,且,
,,且,
所以四邊形為平行四邊形,,
平面,平面,平面;
法二:取中點(diǎn),連接、,
、分別為、的中點(diǎn),.
平面,平面,平面.
為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),,則,
,即,,.
平面,平面,平面.
因?yàn)?/span>,所以平面平面,
平面,所以平面;
(3)過點(diǎn)作,垂足為,在平面內(nèi)過點(diǎn)作,垂足為,
平面,平面,,
,,平面,
平面,,
,,平面,
平面,,則為二面角的平面角,
由等面積法可得,
平面,平面,,
在中,,,,
由等面積法得,則.
因此,二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)前,以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測試,是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動(dòng),保證學(xué)生健康成長的有效措施.程度2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測試,三項(xiàng)考試滿分50分,其中立定跳遠(yuǎn)15分,擲實(shí)心球15分,1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開始時(shí)要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試,得到下邊頻率分布直方圖,且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表:
每分鐘跳繩個(gè)數(shù) | ||||
得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(Ⅰ)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中,任意選取2人,求兩人得分之和不大于35分的概率;;
(Ⅱ)若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布,用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差,已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn),該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練,正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步,假設(shè)今年正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè),現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型:
預(yù)計(jì)全年級恰有2000名學(xué)生,正式測試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù);(結(jié)果四舍五入到整數(shù))
若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人,記正式測試時(shí)每分鐘跳195以上的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量的分布列和期望.
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為,兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形,過點(diǎn)且與x軸不重合的直線l與橢圓交于M,N不同的兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓P的方程;
(Ⅱ)當(dāng)AM與MN垂直時(shí),求AM的長;
(Ⅲ)若過點(diǎn)P且平行于AM的直線交直線于點(diǎn)Q,求證:直線NQ恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,直線()與橢圓交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在軸的上方).
(1)若,求的面積;
(2)是否存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】是空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo),我國標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值,即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級,在之間空氣質(zhì)量為二級,在以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某地月日到日日均值(單位:)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),則下列敘述不正確的是( )
A.從日到日,日均值逐漸降低
B.這天的日均值的中位數(shù)是
C.這天中日均值的平均數(shù)是
D.從這天的日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出一天的數(shù)據(jù),空氣質(zhì)量為一級的概率是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個(gè)面,其棱長為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年月,電影《毒液》在中國上映,為了了解江西觀眾的滿意度,某影院隨機(jī)調(diào)查了本市觀看影片的觀眾,現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取部分觀眾.并用如圖所示的表格記錄了他們的滿意度分?jǐn)?shù)(分制),若分?jǐn)?shù)不低于分,則稱該觀眾為“滿意觀眾”,請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表(如圖所示),解決下列問題.
組別 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
合計(jì) |
(1)寫出、的值;
(2)畫出頻率分布直方圖,估算中位數(shù);
(3)在選取的樣本中,從滿意觀眾中隨機(jī)抽取名觀眾領(lǐng)取獎(jiǎng)品,求所抽取的名觀眾中至少有名觀眾來自第組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).證明:
(1)存在唯一的極值點(diǎn);
(2)有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,某企業(yè)每年消耗電費(fèi)約24萬元,為了節(jié)能減排,決定安裝一個(gè)可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng),安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)(單位:萬元)與太陽能電池板的面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電,安裝后采用太陽能和電能互補(bǔ)供電的模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)(單位:萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是為常數(shù)).記為該村安裝這種太陽能供電設(shè)備的費(fèi)用與該村15年共將消耗的電費(fèi)之和.
(1)試解釋的實(shí)際意義,并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)為多少平方米時(shí),取得最小值?最小值是多少萬元?
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