Question

8．已知點F為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過F作直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，若滿足|AB|=2的直線l有且僅有兩條，則雙曲線C的方程可以是（　　）

• A． x²-4y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． 2x²-2y²=1
• D． x²-y²=1

Answer 1

分析 運用排除法解決，求得a，b，以及交點在左右兩支和右支，分別求得弦長的最小值，即可判斷A，B，C不合題意，D正確．

解答 解：對于A，即有x²-$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}$=1，可得a=1，b=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)AB垂直于x軸時，弦長AB為$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$＜2，
由2a=2，可得直線l與雙曲線的交點在左右支上，
有一條；交于右支，有兩條，共有3條；
對于B，x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，可得a=1，b=$\sqrt{2}$，當(dāng)AB垂直于x軸時，弦長AB為$\frac{2^{2}}{a}$=4＞2，
由2a=2，可得直線l與雙曲線的交點在左右支上，有一條；交于右支，有0條，共有1條；
對于C，即有$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1，可得a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)AB垂直于x軸時，弦長AB為$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$＜2，
由2a=$\sqrt{2}$＜2，可得直線l與雙曲線的交點在左右支上，有兩條；交于右支，有兩條，共有4條；
對于D，可得a=b=1，當(dāng)AB垂直于x軸時，弦長AB為$\frac{2^{2}}{a}$=2，
由2a=2，可得直線l與雙曲線的交點在左右支上，有一條；交于右支，有一條，共有2條．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的弦長問題的解法，注意討論交點的位置，以及弦長的最小值和對稱性，考查運算能力，屬于中檔題．