Question

【題目】已知圓,直線(xiàn)被圓所截得的弦的中點(diǎn)為．

（1）求直線(xiàn)的方程；

（2）若直線(xiàn)與圓相交, 求的取值范圍；

（3）是否存在常數(shù),使得直線(xiàn)被圓所截得的弦中點(diǎn)落在直線(xiàn)上？若存在, 求出的值；若不存在,說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)直線(xiàn)的斜率為則，由題意可得圓心，又弦的中點(diǎn)為，可求得，由可求，從而可求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)：與圓相交，圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑，從而可求得的取值范圍；（3）設(shè)直線(xiàn)被圓解得的弦的中點(diǎn)為，由直線(xiàn)與垂直，可得，與聯(lián)立可求得，代入直線(xiàn)的方程，求得，驗(yàn)證即可．

試題解析：（1）圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，則其圓心，半徑，若設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則，直線(xiàn)的方程為，即．

（2）圓的半徑,要直線(xiàn)與圓相交, 則須有,于是的取值范圍是．

（3）設(shè)直線(xiàn)被圓截得的弦的中點(diǎn)為,則直線(xiàn)與垂直, 于是有,整理可得,又點(diǎn)在直線(xiàn)上, , 由,解得,代入直線(xiàn)的方程, 得,于是,故存在滿(mǎn)足條件的常數(shù)．