Question

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上，頂點(diǎn)B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn)，若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線(xiàn)AD與平面α所成角的正弦值的范圍是（　�。�

• A、[

  6

  3

  ，1)
• B、[

  6

  3

  ，

  3

  2

  )
• C、[

  1

  2

  ，

  3

  2

  )
• D、(

  1

  2

  ，

  6

  3

  ]

Answer 1

分析：構(gòu)建如圖的三角形，不妨令正三角形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)出B，C到面的距離，則DG的長(zhǎng)度為兩者和的一半，下研究DG的取值范圍即可．

解答：解：設(shè)正△ABC邊長(zhǎng)為1，則線(xiàn)段AD=

3

2

設(shè)B，C到平面α距離分別為a，b，
則D到平面α距離為h=

a+b

2

射影三角形兩直角邊的平方分別為1-a²，1-b²，
設(shè)線(xiàn)段BC射影長(zhǎng)為c，則1-a²+1-b²=c²，（1）
又線(xiàn)段AD射影長(zhǎng)為

c

2

，
所以（

c

2

）²+

(a+b) 2

4

=AD²=

3

4

，（2）
由（1）（2）聯(lián)立解得 ab=

1

2

，
所以sinα=

h

AD

=

a+b

3

≥

2 ab

3

=

2

3

=

6

3

，當(dāng)a=b=

2

2

時(shí)等號(hào)成立．
又α是個(gè)銳角，當(dāng)面與面接近于垂直時(shí)，等邊三角形的射影不可能是直角三角形，正弦值不可能趨近于1，故只能選B．
故選B

點(diǎn)評(píng)：考查線(xiàn)面角的求法，本題在做題中，線(xiàn)面角正弦的最小值易求出，而上界不易界定，此時(shí)宜根據(jù)選項(xiàng)用排除法篩選．