已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上,頂點(diǎn)B、C在平面α的同一側(cè),D為BC的中點(diǎn),若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形,則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為
[
6
3
,
3
2
)
[
6
3
3
2
)
分析:根據(jù)題意,作圖,設(shè)正三角形的邊長為1,設(shè)出B,C到面的距離分別為a,b,,則DG的長度為兩者和的一半,通過解直角三角形用a,b表示出DG,得出sinα的表達(dá)式后,再根據(jù)條件,利用函數(shù)、不等式知識研究其最值.
解答:解:設(shè)正△ABC邊長為1,則線段AD=
3
2

設(shè)B,C到平面α距離分別為a=BE,b=CF,
則D到平面α距離為hDG=
a+b
2

射影三角形兩直角邊的平方分別為1-a2,1-b2,
設(shè)線段BC射影長為c,則1-a2+1-b2=c2,(1)
又線段AD射影長為
c
2
,
所以(
c
2
2+
(a+b) 2
4
=AD2=
3
4
,(2)
由(1)(2)聯(lián)立解得 ab=
1
2
,
所以sinα=
h
AD
=
a+b
3
=
1
3
(a+
1
2a
)
2
3
a•
1
2a
=
2
3
=
6
3
,當(dāng)a=b=
2
2
時等號成立.
此時BC與α平行.
令函數(shù)f(a)=a+
1
2a
,0<a<1,根據(jù)B,C關(guān)于D的對稱性,不妨研究
2
2
≤a<1的情形.
由于函數(shù)f′(a)=1-
1
2
1
a2
=
a2
1
2
a2

當(dāng)
2
2
≤a<1時,f′(a)>0,
所以f(a)在(
2
2
1)上單調(diào)遞增,當(dāng)a趨近于1時,f(a)趨近于1+
1
2
=
3
2
.,
sinα趨近于
1
3
3
2
 =
3
2

所以sinα的取值范圍為[
6
3
,
3
2
)

故答案為:[
6
3
,
3
2
)
點(diǎn)評:本題考查線面角的大小度量,考查空間想象、計(jì)算、推理論證能力.以及建立數(shù)學(xué)模型,解決數(shù)學(xué)模型的能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上,頂點(diǎn)B,C在平面α的同一側(cè),D為BC的中點(diǎn),若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形,則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍是(  )
A、[
6
3
,1)
B、[
6
3
,
3
2
)
C、[
1
2
,
3
2
)
D、(
1
2
,
6
3
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α內(nèi),頂點(diǎn)B,C在平面α的同一側(cè),D為BC的中點(diǎn),若△ABC在平面α內(nèi)的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形,則直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為
6
3
6
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省舟山中學(xué)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:填空題

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上,頂點(diǎn)B、C在平面α的同一側(cè),D為BC的中點(diǎn),若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形,則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為   

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省臺州市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上,頂點(diǎn)B,C在平面α的同一側(cè),D為BC的中點(diǎn),若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形,則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍是( )
A.
B.
C.
D.

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