已知正△ABC的頂點A在平面α內(nèi)，頂點B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點，若△ABC在平面α內(nèi)的射影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為
6
3
6
3
．
分析：而當(dāng)BC∥α?xí)r，其B、D、C三點的射影分別為B1，D1，C1時，且∠B1AC1=90°．∠DAD1為直線AD與平面α所成角且最�。蟪黾纯桑�
解答：解：如圖所示，不妨設(shè)AB=2．則AD=
3
．
假設(shè)一開始正△ABC在平面α內(nèi)時的位置，則∠BAC=60°．
而當(dāng)BC∥α?xí)r，其B、D、C三點的射影分別為B1，D1，C1時，且∠B1AC1=90°．
∠DAD1為直線AD與平面α所成角且最�。�
則AD1=
1
2
B1C1=
1
2
BC=1，∴DD1=
AD2-A
D
2
1
=
2
．
此時sin∠DAD1=
DD1
AD
=
2
3
=
6
3
．
當(dāng)BC與平面α部平行時，可以看出：其DD1長度必然增大．
因此直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為
6
3
．
故答案為
6
3
．
點評：正確找出直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值時的位置是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正△ABC的頂點A在平面α上，頂點B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點，若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍是（　�。�
A、[
6
3
，1)
B、[
6
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，
3
2
)
C、[
1
2
，
3
2
)
D、(
1
2
，
6
3
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正△ABC的頂點A在平面α上，頂點B、C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點，若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為
[
6
3
，
3
2
)
[
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3
，
3
2
)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省舟山中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

已知正△ABC的頂點A在平面α上，頂點B、C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點，若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省臺州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知正△ABC的頂點A在平面α上，頂點B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點，若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

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