已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上，頂點(diǎn)B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn)，若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】分析：構(gòu)建如圖的三角形，不妨令正三角形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)出B，C到面的距離，則DG的長(zhǎng)度為兩者和的一半，下研究DG的取值范圍即可．
解答：解：設(shè)正△ABC邊長(zhǎng)為1，則線段AD=
設(shè)B，C到平面α距離分別為a，b，
則D到平面α距離為h=
射影三角形兩直角邊的平方分別為1-a2，1-b2，
設(shè)線段BC射影長(zhǎng)為c，則1-a2+1-b2=c2，（1）
又線段AD射影長(zhǎng)為，
所以（）2+=AD2=，（2）
由（1）（2）聯(lián)立解得 ab=，
所以sinα==≥==，當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立．
又α是個(gè)銳角，當(dāng)面與面接近于垂直時(shí)，等邊三角形的射影不可能是直角三角形，正弦值不可能趨近于1，故只能選B．
故選B
點(diǎn)評(píng)：考查線面角的求法，本題在做題中，線面角正弦的最小值易求出，而上界不易界定，此時(shí)宜根據(jù)選項(xiàng)用排除法篩選．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上，頂點(diǎn)B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn)，若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍是（　�。�
A、[
6
3
，1)
B、[
6
3
，
3
2
)
C、[
1
2
，
3
2
)
D、(
1
2
，
6
3
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn)，若△ABC在平面α內(nèi)的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為
6
3
6
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上，頂點(diǎn)B、C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn)，若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為
[
6
3
，
3
2
)
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6
3
，
3
2
)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省舟山中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上，頂點(diǎn)B、C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn)，若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為    ．

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