Question

18．已知f（x）=x²-2x+4，g（x）=a^x（a＞0且a≠1），若對(duì)任意的x₁∈[1，2]，都存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 若對(duì)任意的x₁∈[1，2]，都存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，則g（x）在[-1，2]上的最大值大于f（x）在[1，2]上的最大值，結(jié)合二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：∵對(duì)任意的x₁∈[1，2]，都存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，
∴g（x）在[-1，2]上的最大值大于f（x）在[1，2]上的最大值，
∵f（x）=x²-2x+4的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，
故f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取最大值4，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）在[-1，2]上為減函數(shù)，
當(dāng)x=-1時(shí)，a^-1＞4，解得：a∈（0，$\frac{1}{4}$）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）在[-1，2]上為增函數(shù)，
當(dāng)x=2時(shí)，a²＞4，解得：a∈（2，+∞）；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）∪（2，+∞）；
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$）∪（2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握各種基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．