Question

10．已知函數(shù)f（x）定義域是$\{x\left|x\right.≠\frac{t}{2}，t∈Z，x∈R\}$，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，當-1＜x＜-$\frac{1}{2}$時，f（x）=-2^-x．
（Ⅰ）證明：f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）求f（x）在$（\frac{1}{2}，1）$上的表達式；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)t，使得$x∈（3t+\frac{1}{2}，3t+1）$時，log₂f（x-3t）＞x²-2tx-3t有解，若存在求出t的值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$便可得出f（x）=f（x+2），從而由f（x）+f（2-x）=0便可得出f（-x）=-f（x），從而得出f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）可設(shè)$x∈（\frac{1}{2}，1）$，從而有$-x∈（-1，-\frac{1}{2}）$，從而可得出f（-x）=-2^x，這樣即可得出f（x）在$（\frac{1}{2}，1）$上的表達式為f（x）=2^x；
（Ⅲ）可假設(shè)存在正整數(shù)t，使得$x∈（3t+\frac{1}{2}，3t+1）$即$x-3t∈（\frac{1}{2}，1）$時，不等式$lo{g}_{2}f（x-3t）＞{x}^{2}-2tx-3t$有解，從而得出不等式x-3t＞x²-2tx-3t有解，進一步得到x²-（2t+1）x＜0有解，從而便可得到$（0，2t+1）∩（3t+\frac{1}{2}，3t+1）≠∅$，從而有2t+1$＞3t+\frac{1}{2}$，這便得到t$＜\frac{1}{2}$，與t為正整數(shù)矛盾，從而得出不存在滿足條件的t．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$；
∴$f（x+1+1）=-\frac{1}{f（x+1）}=f（x）$；
∴f（x）的周期為2；
由f（x）+f（2-x）=0可得，f（x）+f（-x）=0；
即f（-x）=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）解：當$x∈（\frac{1}{2}，1）$時，$-x∈（-1，-\frac{1}{2}）$，則：
f（-x）=-2^x=-f（x）；
∴在$（\frac{1}{2}，1）$上f（x）=2^x；
（Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù)t滿足條件，則對$x∈（3t+\frac{1}{2}，3t+1）$，$x-3t∈（\frac{1}{2}，1）$；
此時 f（x-3t）=2^x-3t；
∴${log_2}f（x-3t）＞{x^2}-2tx-3t$變?yōu)?{log_2}{2^{x-3t}}＞{x^2}-2tx-3t$，可得 x-3t＞x²-2tx-3t；
即x²-（2t+1）x＜0在$x∈（3t+\frac{1}{2}，3t+1）$上有解，t∈N^*；
∴$（0，2t+1）∩（3t+\frac{1}{2}，3t+1）≠∅$；
∴$2t+1＞3t+\frac{1}{2}$，$t＜\frac{1}{2}$；
所以不存在這樣的正整數(shù)t滿足條件．

點評 考查周期函數(shù)的定義，奇函數(shù)的定義及判斷方法，對于奇函數(shù)，已知一曲間上的解析式，求其對稱區(qū)間上的解析式的方法，以及對數(shù)的運算，一元二次不等式的解法．