Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-mx+m-1．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．求m的值．
（2）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．
（3）若函數(shù)y=|f（x）|在[2，4]上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則$\frac{m}{2}$=0，解得m的值．
（2）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上為單調(diào)函數(shù)，則$\frac{m}{2}$≤-1，或$\frac{m}{2}$≥1，解得m的取值范圍．
（3）解函數(shù)f（x）=x²-mx+m-1得：x=1，或x=m-1，當(dāng)m-1≤1滿足條件；當(dāng)m-1＞1時，若函數(shù)y=|f（x）|在[2，4]上單調(diào)遞增，則$\frac{m}{2}$≥4，或m-1≤2，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-mx+m-1的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{m}{2}$為對稱軸的拋物線，
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
則$\frac{m}{2}$=0，
解得：m=0，
（2）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上為單調(diào)函數(shù)，
則$\frac{m}{2}$≤-1，或$\frac{m}{2}$≥1，
解得：m≤-2，或m≥2；
（3）解函數(shù)f（x）=x²-mx+m-1得：x=1，或x=m-1，
當(dāng)m-1≤1，即m≤2時，函數(shù)y=|f（x）|在[2，4]上單調(diào)遞增，
當(dāng)m-1＞1，即m＞2時，若函數(shù)y=|f（x）|在[2，4]上單調(diào)遞增，則$\frac{m}{2}$≥4，或m-1≤2．解得2＜2≤3，或m≥8，
綜上所述，m≤3或m≥8．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．