Question

1．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且平面PAC垂直于底面ABCD，△PAC中，PA=PC，PA⊥PC
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC
（Ⅱ）若BD=PA=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （I）由底面ABCD為菱形，可得AC⊥BD，再利用平面PAC⊥底面ABCD，可得BD⊥平面PAC，即可證明平面PBD⊥平面PAC．
（2）利用V_P-ABCD=V_B-PAC+V_D-PAC=$\frac{1}{3}×{S}_{△PAC}×BD$即可得出．

解答 （I）證明：∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
∴BD⊥平面PAC，BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）解：S_△PAC=$\frac{1}{2}×{2}^{2}$=2．
∴V_P-ABCD=V_B-PAC+V_D-PAC=$\frac{1}{3}×{S}_{△PAC}×BD$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直的判定性質(zhì)定理、菱形的性質(zhì)、三棱錐與四棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．