Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{1}{4}$，3a_n+1-2a_n=1（n∈N^*）；數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及其前n項和S_n；
（2）證明：數(shù)列{b_n}中的任意三項不可能成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到數(shù)列{a_n-1}是以-$\frac{3}{4}$為首項，$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列．由此得到數(shù)列{a_n}的通項公式，然后利用前n項和的定義進行求和；
（2）假設(shè)數(shù)列{b_n}存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，于是有b_r＞b_s＞b_t，則只有可能有2b_s=b_r+b_t成立，代入通項公式，化簡整理后發(fā)現(xiàn)等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．

解答 解：（1）由3a_n+1-2a_n=1，得a_n+1-1=$\frac{2}{3}$（a_n-1）．
因為a₁=$\frac{1}{4}$，所以a₁-1=-$\frac{3}{4}$，
因此數(shù)列{a_n-1}是以-$\frac{3}{4}$為首項，$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列．
所以a_n-1=-$\frac{3}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，即a_n=1-$\frac{3}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$（n∈N^*）．
所以S_n=a₁+a₂+…+a_n=n-$\frac{3}{4}$[1+$（\frac{2}{3}）^{1}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}$]，
=n-$\frac{3}{4}$×$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=$（\frac{2}{3}）^{n-2}$+n-$\frac{9}{4}$（n∈N^*）．
（2）由（1），得b_n=a_n+1-a_n=[1-$\frac{3}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n}$]-[1-$\frac{3}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$]=$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
下面用反證法證明：數(shù)列{b_n}中的任意三項不可能成等差數(shù)列．
假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列{b_n}是首項為$\frac{1}{4}$，公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，于是有b_r＞b_s＞b_t，則只能有
2b_s=b_r+b_t成立．
所以2-$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{s-1}$=$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{r-1}$+$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{t-1}$，
兩邊同乘3^t-1′2^1-r，化簡得2•2^s-r•3^t-s=3^t-r+2^t-r．
因為r＜s＜t，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．故數(shù)列{b_n}中的任意三項不可能成等差數(shù)列．

點評 本題主要考查了數(shù)列的遞推式．對于用遞推式確定數(shù)列的通項公式問題，�？砂淹ㄟ^遞推式變形轉(zhuǎn)換成等差或等比數(shù)列．