Question

10．定義域在R上的函數(shù)f（x）滿足：（x+1）f′（x）≤0，（f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)）且y=f（x）為偶函數(shù)，若向量$\overrightarrow{a}$=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m，1），$\overrightarrow$=（1，-2），則不等式f（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）＜f（-1）的實(shí)數(shù)m的取值范圍是0＜m$＜\frac{1}{8}$或m＞$\frac{1}{2}$，．

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式及幾何意義得出F（x）=xf（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，判斷出f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不等式f（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）＜f（-1）轉(zhuǎn)化為：|$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$|＞1，運(yùn)用數(shù)量積化簡即可．

解答 解：∵（x+1）f′（x）≤0，
∴F（x）=xf（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，
f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵y=f（x）為偶函數(shù)，f（x）=f（-x）=f（|x|）
∴不等式f（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）＜f（-1）轉(zhuǎn)化為：|$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$|＞1，
∵向量$\overrightarrow{a}$=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m，1），$\overrightarrow$=（1，-2），
∴|log${\;}_{\frac{1}{2}}$m-2|＞1，
即0＜m$＜\frac{1}{8}$或m＞$\frac{1}{2}$，
故答案為：0＜m$＜\frac{1}{8}$或m＞$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)，不等式中的應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合向量的數(shù)量積得出不等式，屬于中檔題．