Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx-cosωx（ω＞0）的圖象與直線y=2的相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若f（A）=2，a=

3

b，求角B的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡解析式可得f（x）=2sin（ωx-

π

6

）由題意函數(shù)f（x）的圖象與直線y=2的相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為π，可得T，從而求出ω，即可得f（x）的解析式，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由f（A）=2，可得sin（2A-

π

6

）=1，又0＜A＜π，求得A=

π

3

，a=

3

b，根據(jù)據(jù)正弦定理有sinA=

3

sinB，可求sinB=

1

2

，由大邊對大角即可求B．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sinωx-cosωx（ω＞0），
∴f（x）=2sin（ωx-

π

6

）．
∴函數(shù)f（x）的最大值為2．
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=2的相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為π，
∴T=π，
∴

2π

ω

=π，解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
在△ABC中，∵f（A）=2，
∴2sin（2A-

π

6

）=2，
∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
∵a=

3

b，根據(jù)據(jù)正弦定理，有sinA=

3

sinB，
∴sin

π

3

=

3

sinB，
∴sinB=

1

2

，
∵a＞b，
∴A＞B，
∴0＜B＜

π

3

，
∴B=

π

6

．

點(diǎn)評：本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（對稱性、周期性、單調(diào)性）、兩角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．