Question

已知變量x，y滿足約束條件

x+2y≥1 x-y≤1 y-1≤0

，若z=x-2y的最大值與最小值分別為a，b，且方程x²-kx+1=0在區(qū)間（b，a）有兩解，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A、（-6，-2）
• B、（-3，2）
• C、（-

  10

  3

  ，-2）
• D、（-

  10

  3

  ，-3）

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合求得最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得到a，b的值，然后把方程x²-kx+1=0在區(qū)間（b，a）有兩解轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式組求得k的取值范圍．

解答： 由約束條件

x+2y≥1 x-y≤1 y-1≤0

作出可行域如圖，

聯(lián)立

y-1=0 x+2y=1

，解得

x=-1 y=1

，C（-1，1）．
化z=x-2y為y=

1

2

x-

z

2

，
由圖可知，A（1，0）為目標(biāo)函數(shù)z=x-2y取得最大值的最優(yōu)解，最大值為a=1-2×0=1；
C（-1，1）為目標(biāo)函數(shù)z=x-2y取得最小值的最優(yōu)解，最小值為b=-1-2×1\=-3．
方程x²-kx+1=0在區(qū)間（b，a）有兩解，即在區(qū)間（-3，1）上有兩解．
則

△=(-k)2-4≥0 -3＜ k 2 ＜1 (-3)2+3k+1＞0 12-k+1＞0

，解得-

10

3

＜k＜-2．
∴實數(shù)k的取值范圍是（-

10

3

，-2）．
故選：C．

點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)的零點所在區(qū)間求參數(shù)的范圍問題，是中檔題．