Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在內(nèi)有極值，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)； （2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論，，三種情況計(jì)算得到答案.

（2）根據(jù)題意有一變號(hào)零點(diǎn)在區(qū)間上，得到，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.

（1）定義域?yàn)?/span>，

設(shè)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，從而恒成立，

故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸，又

所以此時(shí)，從而恒成立，

故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，設(shè)有兩個(gè)不同的實(shí)根，

共中，

令，則，

令，得或；令，得或，

故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù).

（2）要使在上有極值，由（1）知，①

則有一變號(hào)零點(diǎn)在區(qū)間上，不妨設(shè)，

又因?yàn)?/span>，∴，又，

∴只需，即，∴，②

聯(lián)立①②可得：.

從而與均為正數(shù).

要比較與的大小，同取自然底數(shù)的對(duì)數(shù)，

即比較與的大小，再轉(zhuǎn)化為比較與的大小.

構(gòu)造函數(shù)，則，

再設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞減，

此時(shí)，故在上恒成立，則在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.