Question

15．計算：${∫}_{\;}^{\;}$_Lf′（x）sinydx+[f（x）cosy-πx]dy，其中f′（x）連續(xù)，L為從點A（2，2π）沿圓周（x-1）²+（y-π）²=1+π²按逆時針方向到O（0，0）．

Answer 1

分析 由于被積函數含有未知的函數，如果直接用第二類曲線積分的計算方法將會變得很復雜，而如果將積分曲線添加一條線段，使其成封閉曲線，再用格林公式就會變得簡單

解答 解：補充線段AB，$\left\{\begin{array}{l}{x=x}\\{y=πx}\end{array}\right.$，x從2到0，則：${∫}_{\;}^{\;}$_Lf′（x）sinydx+[f（x）cosy-πx]dy=${∫}_{\;}^{\;}$_Lf′（x）sinydx+[f（x）cosy-πx]dy+${∫}_{\;}^{\;}$_ABf′（x）sinydx+[f（x）cosy-πx]dy
：${∫}_{\;}^{\;}$_BAf′（x）sinydx+[f（x）cosy-πx]dy=I₁+I₂
其中I₁，利用格林公式，設L+BA所圍成的區(qū)域為D，得
I₁=$\underset{∬}{D}$（-π）dxdy=$-\frac{π}{2}$•π•（1+π2）
而I₂利用第二曲線積分計算方法，得
I₂=${∫}_{0}^{2}$f′（x）sinπx+（f（x）cosπx-πx）•π]dx=${∫}_{0}^{2}$π2xdx=2π2
∴原式=$\frac{3{π}^{2}}{2}$-$\frac{{π}^{4}}{2}$．

點評 本題考查了格林公式及其應用，屬于中檔題．