Question

已知函數(shù)f（x）=a-

1

2x+1

．
（1）求證不論a為何實數(shù)，f（x）總是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值,函數(shù)單調(diào)性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，任取x₁＜x₂判定出f（x₁）-f（x₂）的符號即f（x₁）與f（x₂）的大小，利用函數(shù)單調(diào)性的定義得證．
（2）根據(jù)f（-x）=-f（x），求出a的值，利用指數(shù)函數(shù)的性質得出2^x+1＞1，進一步求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）的定義域為R，任取x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)-----------------------------------------（6分）
（2）∵f（-x）=-f（x）
即a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

解得a=

1

2

-------------------------------------------（8分）
∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

∵2^x+1＞1
∴0＜

1

2x+1

＜1
∴-1＜-

1

2x+1

＜0
∴-

1

2

＜f(x)＜

1

2

∴f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)---------------------------------------------------（12分）

點評：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；考查指數(shù)函數(shù)的性質，考查不等式的性質及函數(shù)值域的求法．