【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為 ,且點(diǎn) 在橢圓 上.
(1)求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓 上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn) 作圓 的兩條切線,切點(diǎn)分別為 不在坐標(biāo)軸上),若直線 軸, 軸上的截距分別為 ,證明: 為定值.

【答案】
(1)解:由題意得:c=1,所以a2=b2+1,
又因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓C上,所以 可解得a2=4,b2=3,
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(2)證明:由(1)知 ,設(shè)點(diǎn) ,因?yàn)? 不在坐標(biāo)軸上,所以 ,直線 的方程為 化簡得 ,同理可得直線 的方程為: ,把點(diǎn) 的坐標(biāo)代入得 ,所以直線 的方程為 ,令 ,得 ;令 ,得 ,所以 又點(diǎn) 在橢圓 上,所以: ,即 為定值
【解析】(1)根據(jù)條件和橢圓的定義及性質(zhì)可得a,b,c的關(guān)系,解方程即得a,b,c的值。
(2)根據(jù)(1)可得橢圓C1 , 利用圓的切線性質(zhì)分別設(shè)出直線QM,OM,QN,OM,最后消去Q,M,N的坐標(biāo),即可得到定值。

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