Question

3．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出與銷(xiāo)售額之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖，并說(shuō)明銷(xiāo)售額y與廣告費(fèi)用支出x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？
（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat y=bx+a$，$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}{y_i}）-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-\hat b\overline x$，求出回歸直線方程．
（3）據(jù)此估計(jì)廣告費(fèi)用為10時(shí)，銷(xiāo)售收入y的值．

Answer 1

分析 （1）在坐標(biāo)系內(nèi)把對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出即得散點(diǎn)圖，由圖可得y與x之間是正相關(guān)；
（2）求出樣本點(diǎn)中心$\overline{x}，\overline{y}$，利用回歸系數(shù)公式求出a，b，得出回歸方程；
（3）把x=10代入回歸方程計(jì)算$\stackrel{∧}{y}$，即為銷(xiāo)售收入y的估計(jì)值．

解答 解：（1）作出散點(diǎn)圖如下圖所示：

銷(xiāo)售額y與廣告費(fèi)用支出x之間是正相關(guān)；
（2）$\overline x-\frac{1}{5}×（2+4+5+6+8）=5$，$\overline y=\frac{1}{5}×（30+40+60+50+70）=50$，
$\sum{{x_i}^2={2^2}+{4^2}+{5^2}}+{6^2}+{8^2}=145$，
$\sum{{y_i}^2}={30^2}+{40^2}+{60^2}+{50^2}+{70^2}=13500$，
$\sum{{x_i}{y_i}=1380}$，
∴$\widehatb=\frac{{\sum{{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}}{{\sum{{x_i}^2-5{{\overline x}^2}}}}=\frac{1380-5×5×50}{{145-5×{5^2}}}=6.5$，$\widehata=\overline y-b\overline x=50-6.5×5=17.5$．
因此回歸直線方程為$\widehaty=6.5x+17.5$；
（3）x=10時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=10×6.5+17.5=82.5．
∴廣告費(fèi)用為10時(shí)，銷(xiāo)售收入y的估計(jì)值為82.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求解及數(shù)值估計(jì)，屬于基礎(chǔ)題．