Question

已知直線(xiàn)l₁為曲線(xiàn)y=f（x）=x²-x+2在點(diǎn)（1，2）處的切線(xiàn)，l₂為該曲線(xiàn)的另外一條切線(xiàn)，且l₁⊥l₂．
求（1）直線(xiàn)l₁，l₂的方程；
（2）求由直線(xiàn)l₁、l₂及x軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)的截距式方程,二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線(xiàn)與圓

分析：（1）由y=f（x），求出f′（x），得出直線(xiàn)l₁的斜率k₁，求出直線(xiàn)l₁的方程，再求出直線(xiàn)l₂的方程；
（2）畫(huà)出直線(xiàn)l₁、l₂及x軸所圍成的三角形圖形，結(jié)合圖形，求出三角形的面積．

解答： 解：（1）∵y=f（x）=x²-x+2，
∴f′（x）=2x-1，
當(dāng)x=1時(shí)，直線(xiàn)l₁的斜率為
k₁=f′（1）=2×1-1=1；
∴直線(xiàn)l₁的方程為y-2=1×（x-1），
即x-y+1=0；
又∵l₁⊥l₂，
∴k₂=2x-1=-1，
解得x=0，
∴y=f（0）=2，
直線(xiàn)l₂的方程為y-2=-1×（x-0），
即x+y-2=0；
（2）由直線(xiàn)l₁、l₂及x軸所圍成的三角形如圖所示；

由

x-y+1=0 x+y-2=0

得A（

1

2

，

3

2

），
由

x-y+1=0 y=0

得B（-1，0），
由

x+y-2=0 y=0

得C（2，0）；
∴S_△ABC=

1

2

|BC|•y_A=

1

2

×|2-（-1）|×

3

2

=

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，是綜合性題目．