Question

17．在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x²+y²-6x+8=0，若直線y=2kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是$[0，\frac{6}{5}]$．

Answer 1

分析 由于圓C的方程為（x-3）²+y²=1，由題意可知，只需（x-3）²+y²=4與直線y=2kx-2有公共點即可．

解答 解：∵圓C的方程為x²+y²-6x+8=0，整理得：（x-3）²+y²=1，即圓C是以（3，0）為圓心，1為半徑的圓；
又直線y=2kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，
∴只需圓C′：（x-3）²+y²=4與直線y=2kx-2有公共點即可．
設(shè)圓心C′（3，0）到直線y=2kx-2的距離為d，
則d=$\frac{|6k-2|}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$≤2，即5k²-6k≤0，
∴k∈$[0，\frac{6}{5}]$，
故答案為$[0，\frac{6}{5}]$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為“（x-3）²+y²=4與直線y=2kx-2有公共點”是關(guān)鍵，考查學(xué)生靈活解決問題的能力，屬于中檔題．