Question

6．數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），且${b_n}={a_n}cos\frac{2nπ}{3}$，記S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，則S₂₄=（　　）

• A． 294
• B． 174
• C． 470
• D． 304

Answer 1

分析 na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，利用等差數(shù)列的定義通項公式可得a_n=n²，b_n=n²$cos\frac{2nπ}{3}$，可得b_3k-2=（3k-2）²$cos\frac{2（3k-2）π}{3}$=-$\frac{1}{2}$（3k-2）²，同理可得b_3k-1=-$\frac{1}{2}$（3k-1）²，
b_3k=（3k）²，k∈N^*．即可得出．

解答 解：∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等差數(shù)列，公差與首項都為1．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1），可得a_n=n²．
∵${b_n}={a_n}cos\frac{2nπ}{3}$，
∴b_n=n²$cos\frac{2nπ}{3}$，
∴b_3k-2=（3k-2）²$cos\frac{2（3k-2）π}{3}$=-$\frac{1}{2}$（3k-2）²，
同理可得b_3k-1=-$\frac{1}{2}$（3k-1）²，
b_3k=（3k）²，k∈N^*．
∴b_3k-2+b_3k-1+b_3k═-$\frac{1}{2}$（3k-2）²-$\frac{1}{2}$（3k-1）²+（3k）²=9k-$\frac{5}{2}$，
則S₂₄=9×（1+2+…+8）-$\frac{5}{2}×8$=304．
故選：D．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、三角函數(shù)的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．