Question

15．函數(shù)f（x）=x+x³（x∈R），當(dāng)$0＜θ＜\frac{π}{2}$時(shí)，f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤1}．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且函數(shù)在R上單調(diào)遞增，結(jié)合題意求得（1-sinθ）a＜1，即a＜$\frac{1}{1-sinθ}$．再根據(jù)$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，求得a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x+x³（x∈R），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)$0＜θ＜\frac{π}{2}$時(shí)，f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立，即f（asinθ）＞-f（1-a）=f（a-1）恒成立，
即 f（asinθ）＞f（a-1）恒成立，∴asinθ＞a-1，即（1-sinθ）a＜1．
當(dāng)$0＜θ＜\frac{π}{2}$時(shí)，sinθ∈（ 0，1），∴a＜$\frac{1}{1-sinθ}$．
由于$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，∴a≤1，
故答案為：{a|a≤1}．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．