Question

20．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{4^x}{{2+{4^x}}}$
（1）用定義證明：函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）證明：對任意的實(shí)數(shù)t都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{2015}{2016}}）$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性 定義進(jìn)行證明．
（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可．
（3）利用（2）的結(jié)論進(jìn)行求解．

解答 解：（1）證明：在定義域R上任取兩個(gè)自變量值x₁，x₂且x₁＜x₂$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{4^{x_1}}}}{{2+{4^{x_1}}}}-\frac{{{4^{x_2}}}}{{2+{4^{x_2}}}}=\frac{{{4^{x_1}}（{2+{4^{x_2}}}）-{4^{x_2}}（{2+{4^{x_1}}}）}}{{（{2+{4^{x_1}}}）（{2+{4^{x_2}}}）}}=\frac{{2（{{4^{x_1}}-{4^{x_2}}}）}}{{（{2+{4^{x_1}}}）（{2+{4^{x_2}}}）}}$
由x₁＜x₂可得：${4^{x_1}}-{4^{x_2}}＜0$
從而f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得：函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
（2）證明：因?yàn)?f（t）+f（{1-t}）=\frac{4^t}{{2+{4^t}}}+\frac{{{4^{1-t}}}}{{2+{4^{1-t}}}}$=$\frac{{{4^t}（{2+{4^{1-t}}}）+{4^{1-t}}（{2+{4^t}}）}}{{（{2+{4^t}}）（{2+{4^{1-t}}}）}}$=$\frac{{2（{{4^t}+{4^{1-t}}}）+8}}{{4+2（{{4^t}+{4^{1-t}}}）+4}}=1$
故對任意的實(shí)數(shù)t都有f（t）+f（1-t）=1
（3）由（2）可得：$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2015}{2016}}）=1$，$f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{2014}{2016}}）=1$$f（{\frac{3}{2016}}）+f（{\frac{2013}{2016}}）=1$，…，$f（{\frac{2015}{2016}}）+f（{\frac{1}{2016}}）=1$
令$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{2015}{2016}}）=M$
則$f（{\frac{2015}{2016}}）+f（{\frac{2014}{2016}}）+f（{\frac{2013}{2016}}）+…+f（{\frac{1}{2016}}）=M$
上下等式左右兩邊分別相加可得：2015×1=2M
故可得：$M=\frac{2015}{2}$
因此，$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{2015}{2016}}）=\frac{2015}{2}$

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)值的求解，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．